Civilizaciones muy alejadas entre sí crearon construcciones muy similares con las mismas conclusiones matemáticas. El autor explica los motivos y derriba las especulaciones más delirantes
El pasado 3 de abril dieron comienzo en el museo de la Ciencia de Valladolid el ciclo de charlas «Increíble…, pero falso», dedicadas a explicar científicamente algunas de las creencias, fantasías y suposiciones más difundidas por todo tipo de seudociencias. En su octava edición, y a pesar de la desapacible tarde, el auditorio mostraba un aspecto estupendo con un casi lleno. El tema era «¿Construyeron los extraterrestres las pirámides de Egipto o el Yucatán? Desmontando mitos sobre nuestro pasado», y el ponente, César Esteban López, del Instituto de Astrofísica de Canarias de la Universidad de La Laguna.
Todo se desarrolló conforme a lo esperado: el ponente expuso de un modo ameno y sencillo las especulaciones más conocidas sobre el tema aportando pruebas y razonamientos que ponen en tela de juicio todas esas teorías, pensadas sobre todo para el enriquecimiento de algunas personas (que también demostró con datos). Llegamos entonces al turno de preguntas, de todo tipo y condición, cada una de acuerdo al nivel de conocimiento del que las iba realizando. Una de ellas cuestionaba la posibilidad de que civilizaciones tan alejadas en el espacio (egipcia y mesoamericana) hubieran decidido elegir el mismo cuerpo geométrico, las pirámides, como base para sus monumentos. La explicación del ponente fue clara: se trata de un objeto muy elemental, muy estable, y, por otro lado, las pirámides de esas civilizaciones no son idénticas. No es descabellado por tanto que ambas civilizaciones hubieran llegado, cada una por su cuenta, a elegir las pirámides como cuerpo geométrico para apoyar sus creencias, necesidades, o lo que vaya usted a saber que pensaran.
Aun así, la señora seguía manifestando su incredulidad. No tuve la posibilidad de aportar mi visión ya que el número de preguntas era muy elevado, ni otras alusiones al «gran conocimiento matemático egipcio» como piensa la gente que tenían para poder llevar a cabo esas ciclópeas construcciones y de «la máxima exactitud» en cuanto a la mínima desviación de ángulos y otros argumentos que se suelen aducir cuando se habla del tema. Dada la, a mi juicio, exagerada percepción de muchas personas sobre todo ello, he pensado dedicar estas líneas a intentar dejar en claro al menos lo de las pirámides. Y para ello utilizaré dos ejemplos históricos, a mi juicio, con cierto paralelismo.
La conjetura de Kepler
Aunque sobradamente conocida por ser una de las cuestiones que, junto al último teorema de Fermat, ha estado siglos planteada, y su enunciado es tan sencillo y cotidiano que se hace difícil pensar que haya tardado tanto en ser resuelta (circunstancia no aceptada además unánimemente), volvamos a recordar en qué consiste. La tradición cuenta que hacia 1611 un marino le pregunta a Johannes Kepler (el mismo que demostró que los planetas describen trayectorias elípticas en su desplazamiento, en lugar de circulares) si sería posible estimar el número de proyectiles de cañón que los buques enemigos podían almacenar. No sabemos si surge así, pero lo que sí es constatable es que Kepler escribió en ese año un artículo titulado De nive sexangula (“Sobre el copo de nieve de seis lados”) en el que trata de explicar por qué los copos de nieve poseen simetría hexagonal. El tema no era nuevo (hay documentos chinos al respecto en el siglo II a. C.) pero el intento de justificación de Kepler sí: en lugar de pensar en el material (la nieve), pone su atención en la estructura, en cómo las partículas que forman los copos se organizan del modo más efectivo posible. En definitiva, fija su atención en las relaciones espaciales que presentan los copos, en su geometría (la base de la cristalografía). Llegamos así a cómo conocemos la conjetura de Kepler: ¿cuál es la forma óptima de apilar esferas del mismo tamaño en tres dimensiones?
Wikipedia
En 1998, el matemático norteamericanoThomas Callister Hales (nacido en 1958; lo vemos en la foto) presenta un artículo en el que afirma probar que esa forma óptima es la disposición que vemos diariamente en los mercados para colocar las naranjas. Tal demostración se basaba en el análisis mediante un programa informático de miles de configuraciones posibles que involucraban la optimización de funciones de más de doscientas variables. El caso es que al cabo de un tiempo (unos cuantos años) la comisión de expertos encargada de validar la demostración se siente incapaz de asegurar que aquello es correcto con plenas garantías. Hales se embarca entonces en el proyecto Flyspeck para confirmar y terminar de analizar todas las posibilidades. El 10 de agosto de 2014 el software creado por el equipo de Flyspeck termina la tarea que es finalmente avalada por la comunidad matemática. En este enlace se puede descargar un documento con una prueba formal del resultado (o sea una prueba más del gusto de los matemáticos más exigentes). Todo este esfuerzo para demostrar algo que durante siglos los tenderos, los marineros y todo el que probara un poco experimentalmente unas cuantas configuraciones había ya constatado. Eso sí, ahora lo sabemos con plena seguridad.
Teselaciones del plano
Prácticamente desde que el ser humano deja constancia de su existencia, nos encontramos con manifestaciones artísticas (monumentos, objetos cotidianos, utensilios, adornos, etc.) y trascendentes (tumbas) en las que aparecen diferentes elementos geométricos. A veces con intención meramente ornamental, en otros casos pensando en supuestas propiedades ultraterrenales. A medida que pasan los siglos, esas manifestaciones se van «complicando», seguramente buscando efectos como la belleza, simbologías diversas como hemos dicho, o simplemente la contemplación agradable. Uno de estos nuevos elementos es la simetría. Es lógico. Uno observa la naturaleza, o el propio cuerpo humano, y detecta inmediatamente aspectos simétricos que intenta reproducir por resultarle seguramente diferente, variado.
Después, los matemáticos hemos ido clasificando todas estas posibilidades de una manera sistemática y exhaustiva. Si tomamos un motivo básico (una flor, por ejemplo) sin modificar su tamaño ni forma y lo vamos repitiendo a lo largo de una única dirección, obtenemos los frisos o cenefas. Para darle un poco de variedad podemos hacer simetrías (horizontales o verticales) y giros de 180º, que vamos combinando. Con estas operaciones se configura la estructura de grupo (ya hemos hablado en otras ocasiones de los grupos). Pues bien, existen únicamente siete posibles combinaciones que dan esa estructura de grupo. El ejemplo más simple es la simple traslación de una figura periódicamente. Por ejemplo, la imagen muestra la omnipresente flor de lis en el Colegio de San Gregorio de Valladolid, sede del Museo Nacional de Escultura, y emblema del fundador de dicho colegio, fray Alonso de Burgos (ya se llevaba aquello de la “marca” en el siglo XV), que se repite longitudinalmente.
Si en lugar de repetir el motivo en una única dirección, lo hacemos en el plano, en dos dimensiones, es decir, podemos hacer simetrías a lo largo y a lo ancho, tenemos más posibilidades. Manteniendo el patrón sin modificar su forma, respetando ángulos y longitudes, se tienen las llamadas isometrías (etimológicamente, del griego, se traduciría como “misma medida”). Hay (descartando la identidad, es decir, dejar el motivo como está) cuatro isometrías distintas: la traslación, el giro o rotación, la reflexión o simetría y la reflexión con deslizamiento. Los dos primeros son transformaciones directas (no se altera la orientación del motivo; se podrían superponer perfectamente el original y el transformado sin salirnos del plano), y los dos siguientes son transformaciones inversas (porque las simetrías no conservan la orientación; habría que salirse de las dos dimensiones del plano para hacer coincidir el original y el motivo transformado).
Con esas transformaciones, existen únicamente 17 grupos de simetría que rellenen (teselen) completamente el plano sin superponer piezas ni dejar huecos. ¿Saben cuándo se demostró que había exactamente 17 y no más? En 1891, gracias a los trabajos del cristalógrafo y matemático ruso Yevgraf Stepánovich Feodorov, haciendo una clasificación exhaustiva. A esos mismos resultados llegaron también Felix Klein y Robert Fricke en 1897, y también Georg Polya y Paul Niggli en 1924. Pues bien, la Alhambra de Granada es, a fecha de hoy, el único monumento del mundo en el que están presentes todos y cada uno de los 17 grupos cristalográficos planos (en la imagen, un teselado en una de las paredes de la Alhambra en el que se repite el conocido como hueso nazarí). La construcción de la Alhambra se data entre los siglos XI al XV (no hay consenso de cuando empieza, y hubo ampliaciones, reformas, etc., hasta el siglo XV que es cuando se conquista, como sabemos) ¿Cómo pudieron los alarifes musulmanes saber que había exactamente 17 grupos distintos (oigan que no se les olvidó ninguno)? ¿Alienígenas, como en el caso egipcio? ¿Templarios súper sabios? ¿A que les suena ridículo?
Pues miren, la razón es clara. El Islam no permite representaciones humanas en sus decoraciones, por eso siempre juegan con motivos geométricos. Como en el caso del apilamiento de naranjas, todo es fruto del método experimental ensayo-error (mientras no aparezca algún texto que nos confirme que hubieran hecho estudios sobre el tema y llegado a esa conclusión, evidentemente). Y por supuesto, el trabajo y el ingenio de aquellas personas. Porque, volviendo al tema que ha originado estas líneas, como comentó el conferenciante en su charla, somos bastante soberbios pensando que nuestros antepasados eran poco menos que idiotas (etnocentrismo, un defecto muy marcado en nuestra sociedad). Recordemos que los griegos (siglos antes de Cristo), por ejemplo, siguen muy presentes en la actualidad y les debemos gran parte de la filosofía, geometría, política, etc., que aún rige nuestra sociedad. No, no eran idiotas, ni mucho menos, y por ello fueron capaces de determinar, civilizaciones distintas y muy alejadas físicamente, que la rueda es un instrumento mucho más útil para desplazarse que el cuadrado, que la recta es el camino más corto entre dos puntos (en la geometría euclidea, por supuesto, la que rige la mayor parte de nuestra existencia; recuérdese lo del pons asinorum), o que la forma tridimensional más estable, que menor espacio ocupa, y que más esferas recoge es precisamente la pirámide.
Aprovechando haber hablado de Thomas Hales, y de las teselaciones, me gustaría apuntar que el propio Hales también demostró en 1999 que el teselado hexagonal (o de panal de abeja) es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área con el mínimo perímetro total (las abejas son muy listas). Era una conjetura vigente desde la Antigüedad también (Marco Terencio Varrón, 36 aC, y Pappus de Alejandria, siglo III d. C.), otro ejemplo de conocimiento probado por experimentación sin extraterrestres por medio que se sepa. Y finalmente, que las teselaciones del espacio (tres dimensiones) también están estudiadas, habiendo 230 grupos de simetría. Todos ellos son temas curiosos, cuya justificación y explicación pormenorizada nos llevaría bastantes páginas, aunque seguramente los tratemos en otra ocasión.
Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).
El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la RSME.
