Publicamos la solución al divertimento Dividir un cuadrado. En esta ocasión, Alberto Castaño y Rafael González han enviado respuestas acertadas.
Divertimento:
¿Existe un cuadrado de lados enteros que pueda dividirse en tres partes cuyas áreas sean de la forma 3n o 7n, para algún n?
Actualización: Se piden todas las descomposiciones de cuadrados de lados enteros en tres trozos de la forma 3n o 7n, con el mismo n.
Solución:
Si n es impar, entonces 3 ⋅ 3n es un cuadrado perfecto, y sí puede hacerse la división. Este es el único caso en que es posible.
Como 3 ⋅ 7n nunca es un cuadrado perfecto, la división no puede hacerse únicamente con trozos de área 7n.
Veamos que tomando un trozo de área 3n y dos de área 7n no es posible, es decir, que 3n + 2 ⋅ 7n no es un cuadrado perfecto para ningún valor de n. La última cifra de las potencias de 3 se repite periódicamente:
30 = 1, 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243…
La última cifra de las potencias de 7 tiene la misma periodicidad:
70 = 1, 71 = 7, 72 = 49, 73 = 343, 174 = 2401, 75 = 16807…
Por tanto, la última cifra de 3n+ 2 ⋅ 7n también se repite con periodicidad igual a 4.
En concreto:
- Si n = 4k, la última cifra es 3.
- Si n = 4k + 1, la última cifra es 7.
- Si n = 4k + 2, la última cifra es 7.
- Si n = 4k + 3, la última cifra es 7.
Por otra parte, como los cuadrados de los números de una cifra son 0, 1, 4, 25, 36, 49, 64 y 81, la última cifra de cualquier cuadrado perfecto debe ser 0, 1, 4, 5, 6 o 9. Por tanto, 3n + 2 ⋅ 7n no es un cuadrado perfecto para nigún valor de n.
El mismo razonamiento prueba que 2 ⋅ 3n + 7n no es un cuadrado perfecto para nigún valor de n, porque la última cifra de 2 ⋅ 3n + 7n siempre es 3 o 7.
